鉛直ばね振り子や、斜面上のばね振り子などの
単振動において、
つり合いの位置を基準に取った場合の力学的エネルギー
は簡単になるということをご存知でしょうか。

それを簡単に説明しますと・・・・

天井につるされた鉛直ばね振り子において、
おもりを引っ張って、手を離し、
単振動させた場合を考えよう。

状態1:x=x0(引っ張って離す位置)
状態2:x=x(つり合いからx伸びた位置)

について、
仕事と運動エネルギーの関係ΔK = W より

ΔK = W(重力) + W(弾性力)

だから 

1/2mv2 – 1/2mv02 = –mg(x0–x) + 1/2k(a + x0)2 – 1/2k(a + x)2

これを変形すると

となり、重力による位置エネルギーの基準を
つり合いの位置にとったとすれば

力学的エネルギー
E=運動エネルギー+重力による位置エネルギー+弾性力による位置エネルギー

が保存していることがわかります。
(力学的エネルギー保存則が成り立つ。)

さて、この複雑な式の形ですが、
つり合いの関係式を代入してあげると、
もっと簡単な形になるんです。

つり合いより ka = mg
これを3式に代入してみますと

1/2mv02 + 1/2kx02 = 1/2mv2 + 1/2kx2

このように、3式のような複雑な式は
実はこんなにスッキリとした形に変形します。

つまり、この式を最初から作れば
簡単な形ですむわけなのです。

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ここで、式の特徴をみてみますと、
重力による位置エネルギーmghにあたる部分がなくなりました。

また、弾性力によるエネルギー1/2kx2に当たる部分ですが、
本来xは,ばねの自然長からの伸び(縮み)なのに対し、
式の中で使われているxは、
つり合いからの長さになっています。

よって、このような特徴を、
はじめから頭に入れておくと、
つり合いの式を代入した後の、
スッキリとした式をたてることができます。

この形の式をはじめからたてられるようになれれば、
ばね問題もずっと考えやすくなります。

次のルールを守って、直接、
力学的エネルギー保存則を
簡単な形でたてられるようにしましょう。

簡単な式をたてるためのルール
1.重力による位置エネルギーmghは考えない。
2.弾性エネルギーの kx2 のxは自然長からでなく、
  つり合いの位置からの長さをとる。

このようなルールを守って、
力学的エネルギーを考えましょう。

そうすれば最初に式をたて、
その後につり合いの式を代入、
そして簡単になる・・・という手順を踏まなくても、
はじめから一発で簡単な式を立てることができます。

このような簡単な式をたてることによって、
ケアレスミスなどの間違えは大幅に少なくなります。

ですから、鉛直ばね振り子などの問題では、
この方法を早くマスターしてしまいましょう。

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