力学的エネルギー保存の法則

力学的エネルギー保存の法則
保存力のみが物体に仕事をしているとき、
物体の力学的エネルギーは一定に保たれる。

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重力に仕事をされている場合
1/2mv2 + mgh = 一定

弾性力に仕事をされている場合
1/2mv2 + 1/2kx2 = 一定

重力と弾性力に仕事をされている場合
1/2mv2 + mgh + 1/2kx2 = 一定

摩擦と力学的エネルギー
物体のもっている力学的エネルギーは、
摩擦力によってされた仕事の量だけ減少する。

ΔK=Wより,力には保存力と非保存力があるので仕事も非保存力のした仕事をW非,保存力のした仕事をW保とおくと,ΔK=W非+W保と書ける。ここで保存力と位置エネルギーの関係はW保=¬-ΔUという関係が成り立っている。これは,保存力,例えば重力が仕事をすると,物体は低い所へ移動するので,位置エネルギーは減少する。また逆に重力が負の仕事をするときは,物体が高いところへ移動する場合なので,この場合には位置エネルギーは増加する。これを式に表すとW保=¬-ΔUとなることが分かる。よって,ΔK=W非+(-ΔU) となり, W非=ΔK + ΔU=Δ(K + U) となる。よって非保存力のした仕事(左辺)と力学的エネルギーの増加(右辺)は等しい。これより,非保存力が仕事をしない場合は,Δ(K + U)=0となり,力学的エネルギーが増加しない場合なので力学的エネルギーが保存する場合が成り立つ。これが力学的エネルギー保存の法則である。

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